К вопросу о границах применимости аналитических и численных решателей уравнений, описывающих движение воздуха в шахтных вентиляционных сетях

Abstract

Движение воздуха в шахтных вентиляционных сетях (ШВС) математически описывается моделями, основанными на нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных (ДУЧП) на геометрических графах. Аналитическое решение таких ДУЧП существует лишь в некоторых специальных случаях. Основным методом численного моделирования динамики воздуха является метод прямых, который позволяет перейти от ДУЧП на графе к гомогенной слабо связной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) высокой размерности. В данной статье содержится краткий обзор аналитических решений и теоретический анализ метода прямых в применении к решению ДУЧП, которые описывают динамику воздуха в ШВС. Основное внимание уделено исследованию устойчивости по Ляпунову полудискретизированных ДУЧП и анализу устойчивости численных методов их интегрирования. В статье также приведены с доказательствами некоторые неравенства, которые обеспечивают устойчивость численных методов решения ДУЧП, описывающих движение воздуха в ШВС. Air flow in mine ventilation network is described mathematically by models based on nonlinear PDEs on geometrical graphs. Analytical solutions for such type of PDEs exist only in some special cases. Prevalent method for simulation of these models is half discretization of PDEs using method of lines (MOL) approach. It leads to large homogenous weakly connected ODE systems. This paper contains brief overview of analytical solutions and theoretical analysis of MOL approach for solving of PDEs on graphs that describe air dynamics in mine ventilation networks. The main attention is given on investigation of Lyapunov stability of half discretized PDEs and stability analysis of numerical methods for solving of half discretized PDEs. Some inequalities that provide stability of numerical methods are represented with their proofs in this paper.