Об одном обобщении бинарной аддитивной задачи с квадратичными формами

Abstract

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. Одной из них является проблема делителей Ингама. Рассматривается бинарная аддитивная задача с квадратичными формами, которая является аналогом классической проблемы делителей. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения, содержащего линейную комбинацию бинарных положительно определенных примитивных квадратичных форм. Причем такие решения ищутся с некоторыми «весами», отвечающими за ограниченность числа решений. Данная задача является обобщением изученной ранее проблемы, где уравнение содержало сумму квадратичных форм. Доказательство основано на круговом методе, когда сумма, являющаяся числом решений изучаемого уравнения, представляется в виде интеграла; на разбиении отрезка интегрирования числами ряда Фарея, при этом выбранные «веса» позволяют использовать функциональное уравнение для двумерного тета-ряда. Используя точные формулы для двойных сумм Гаусса, с применением оценки А. Вейля для суммы Клоостермана проводится оценка одной суммы, содержащей суммы Гаусса.