Содержание

1. Определение и свойства двойного интеграла

2. Вычисление двойного интеграла

3. Замена переменных в двойном интеграле

4. Приложения двойного интеграла

5. Несобственные двойные интегралы



Определение и свойства двойного интеграла

1. Квадрируемой называется фигура:

  1.   имеющая форму квадрата

  2.   имеющая форму многоугольника

  3.   имеющая площадь

  4.   ограниченная прямоугольником

            Продолжить            


2. Плоская кривая имеет площадь 0, если она:

  1.   замкнутая

  2.   имеет конечную длину

  3.   может быть заключена в прямоугольник сколь угодно малой площади

  4.   может быть заключена во многоугольник сколь угодно малой площади

            Продолжить            


3. Площадью плоской фигуры называется:

  1.   число , где s1<s2<...<sn< - площади последовательности вложенных в фигуру многоугольников, а S1>S2>...>Sn> - площади содержащих её многоугольников

  2.   предел последовательности площадей вложенных в неё многоугольников

  3.   предел последовательности площадей содержащи её многоугольников

  4.   сумма площадей её частей

            Продолжить            


4. Кривая называется гладкой, если:

  1.  

  2.   и кривая не имеет точек самопересечения

  3.   и

  4.   , и отсутствуют точки самопересечения

            Продолжить            


5. Прмером гладкой кривой является:

  1.   кривая

  2.   кривая

  3.   выпуклый многоугольник

  4.   кривая

            Продолжить            


6. При построении двойного интеграла область предполагается:

  1.   произвольной

  2.   ограниченной кривой, имеющей площадь 0

  3.   ограниченной

  4.   квадрируемой

            Продолжить            


7. Диаметром области называется:

  1.   радиус круга, содержащего эту область

  2.   наибольшее расстояние (или его точная верхняя грань) между двумя точками принадлежащими области

  3.   диагональ прямоугольника, содержащего эту область

  4.   длина наибольшего отрезка, лежащего в области

            Продолжить            


8. Интегральной суммой функции f(x,y) в области D называется выражение:

  1.  

  2.   - площадь i-ой части

  3.   - площадь i-ой части

  4.   - площадь i-ой части

            Продолжить            


9. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется:

  1.  

  2.   , где d - диаметр разбиения области D

  3.   , где d - диаметр разбиения области D

  4.   , где d - диаметр разбиения области D

            Продолжить            


10. Указать функции, интегрируемые в области D = [0,2; 0,2]:

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


11. Указать функции, интегрируемые в области D : :

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


12. Из приведённых соотношений указать верные:

  1.  

  2.   если

  3.  

  4.  

            Продолжить            


13. Указать среднее значение fср функции в области D=[a,b;c,d]:

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


14. Установить среднее значение fср функции в области D : :

  1.  

  2.   fср=2

  3.  

  4.  

            Продолжить            


15. Указать геометрический смысл :

  1.   объём фигуры

  2.   площадь поверхности тела

  3.   площадь боковой поверхности тела

  4.   объём тела, если

            Продолжить            



Вычисление двойного интеграла

1. Указать условия перехода к повторному интегралу:

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


2. Указать правилиные варианты расстановки пределов интегрирования :

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


3. =

  1.   3

  2.   2

  3.   5

  4.   1

            Продолжить                  


4. =

  1.   0

  2.   -4

  3.   -1

  4.   2

            Продолжить                  


5. Указать условия перехода к повторному

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


6. =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  


7. Изменить порядок интегрирования =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  


8. Изменить порядок интегрирования =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  


9. Вычислить =

  1.  

  2.  

  3.   0

  4.  

            Продолжить                  


10. Вычислить , где D ограничена осью абцисс и первой строкой цоклоида x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), :

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  



Замена переменных в двойном интеграле

1. Согласно правилу замены переменных =, где x=x(u,v), y=y(u,v) являются:

  1.   непрерывными

  2.   непрерывно-дифференцируемыми и

  3.   ограниченными и

  4.   непрерывно-дифференцируемыми в

            Продолжить            


2. Выражение в правиле замены переменных представляет коэффициент:

  1.   преобразования координат

  2.   преобразования объёмов

  3.   изменение масштаба координат

  4.   преобразования площадей

            Продолжить            


3. При переходе к полярным координатам =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить            


4. В полярных координатах =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  


5. =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  


6. Ввести переменные u=x+y, v=x-y и перейти к повторному интегралу =

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  



Приложения двойного интеграла

1. Вычислить площать S, ограниченную кривой L: :

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  


2. Найти объём V тела, ограниченного поверхностями Z=x2+y2, Z=x+y.

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

            Продолжить                  



Несобственные двойные интегралы

1. Несобственный интеграл функции f(x,y) по ограниченной области D называется сходящимся, если:

  1.   сходится к конечному пределу интегральная сумма этой функции

  2.   интеграл от функции f(x,y) сходится в любой конечной части области D

  3.   сходится повторный интеграл функции f(x,y)

  4.   существует конечный предел интеграла по области, ограниченной кривой площадью D, при условии, что эта кривая всеми своими точками уходит в бесконечность

            Продолжить            


2. Пусть неограниченная область . Тогда , если сходится:

  1.  

  2.   и

  3.  

  4.  

            Продолжить            


3. Несобственный интеграл от неограниченной функции f(x,y) по ограниченной области D называется сходящимся, если:

  1.   сходится интегральная сумма функции f(x,y) по области D

  2.   существует повторный интеграл функции

  3.   сходится

  4.   существует конечный lim по области D', полученный удалением из D окрестностей особых точек, при условии, что все они стягиваются в точки

            Продолжить            


4. Несобственный интеграл от неограниченной функции f(x,y) , где , f(x,y)=0 вне D, если сходится:

  1.  

  2.  

  3.   и

  4.  

            Продолжить            


5. Указать требования правила замены переменных в несобственных интегралах. , если:

  1.   сходится интеграл в левой части равенства

  2.   сходится интеграл в правой части равенства

  3.   сходятся оба интеграла

  4.   сходится хотя бы один из интегралов

            Начало