5. Приложения двойного интеграла
5.1 Геометрические приложения.Основаны на геометрическом смысле
двойного интеграла (п.2)
К числу основных геометрических приложений относятся вычисление
объемов тел и площадей плоских фигур. Использование двойных
интегралов для вычисления площадей рассмотрены в п.4.2
поэтому ниже ограничимся демонстрацией для вычисления объемов.
Пример. Найти объем тела ограниченного поверхностями
,
(a,b,c<0)
Решение. 1). Для установления порядка интегрирования выполним чертеж (см. 5.1). Данное тело ограничено двуполостным параболоидом и эллиптическим цилиндром.
Рис.5.1
2). Тело V симметрично относительно плоскости XOY, т.к.
переменная Z в уравнении поверхностей входит в четной степени.
Поэтому
3). Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам

отсюда получаем, что якобиан преобразования
Тогда
4). Переходим к повторному интегралу
5). Переменные r и
не связаны, поэтому вычисление повторного интеграла сводится к раздельному вычислению двух обычных

т.о. 
Ответ:
.
5.2 Механические приложения.
Основаны на предположении о плоском и непрерывном распределении масс.
Обычным является следующий прием.
1) Предполагается заданной некоторая функция
,
представляющая собой плотность распределения масс плоской фигуры D.
2) Проводится разбиение этой фигуры на части. В пределах каждой части принимается предположение, что плотность распределения масс
является постоянной или что масса части сосредоточена в одной точке.
3) Тогда для массы этой части имеет место формула
Справедливая до до малых порядка
4) складывая приближенные значения для
, получаем значение массы m фигуры D в виде интегральной суммы.
5) После предельного перехода - точное значение для m в виде двойного интеграла
Аналогичным образом получаются выражения для статических моментов
плоской фигуры
моментов инерции относительно осей кординат
координат центра тяжести
и т.д.