2 Определение и свойства двойных интегралов

2.1 Определение. Понятие двойного интеграла базируется на понятии площади. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Квадрируемыми, в частности, являются замкнутые ограниченные области с границей в виде кривой площадью 0. Примером такой кривой является гладкая или кусочно-гладкая кривая. Такие области и кривые, если не оговорено иное, рассматриваются ниже.

      Рассмотрим некоторую область D, расположенную в плоскости xoy, и предположим, что в ней задана функция z = f (x, y). Разобьем область D сетью кривых на некоторое количество частей. Обозначим площадь i-ой части через Δsi, а ее диаметр через di. Число d = max idi называется диаметром разбиения области. В каждой из полученных частей произвольным образом выберем точку Mi(xi, yi) (рис. 2.1)

Рис. 2.1

и составим выражение

σ = Σ i f (xi, yi)Δsi.

(2.1)

Это выражение называется интегральной суммой функции z = f (x, y) по области D.

      Определение. Конечный предел интегральной суммы (2.1) при условии, что диаметр разбиения области d стремится к 0, называется двойным интегралом функции z = f (x, y) по области D и обозначается

∫∫ D f (x, y)ds или ∫∫ D f (M)ds.

      Таким образом, по определению,

∫∫ D f (x, y)ds = lim d→0 Σ i f (xi, yi) Δsi.

      Функция f (x, y), имеющая интеграл, называется интегрируемой.

      Замечание. Обратим внимание, что в определении интеграла отсутствуют какие-либо предположения о поведении функции, ограничения на характер разбиения и выбор точек Mi .

      2.2 Классы интегрируемых функций. Устанавливаются следующими теоремами.

      Теорема 2.1 Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D, интегрируема в ней.

      Теорема 2.2 Если функция ограничена в области D и разрывна вдоль конечного числа линий общей площадью 0, то она интегрируема в ней.

     Замечание. Функция, неограниченная, по крайней мере, в одной точке области, интегрируемой, вообще говоря, не является. Действительно, при любом разбиении области данная особая точка обязательно попадет в одну из его частей. Тогда в силу неограниченности функции в окрестности этой точки путем выбора точки Mi из этой части интегральная сумма может быть сделана сколь угодно большой. Следовательно, и конечный предел интегральной суммы, в результате этого, отсутствует.

      2.3 Свойства двойных интегралов. К числу основных относятся следующие свойства.

  1. Если интегрируемую в D функцию f (x, y) произвольным образом изменить вдоль кривой, имеющей площадь 0, таким образом, чтобы она осталась ограниченной, то полученная функция также интегрируема в D и ее интеграл равен интегралу от f (x, y).

    Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией на конечном числе кривых общей площадью 0.

  2. Пусть кривая площадью 0 разбивает область D на две области D', D''. Тогда из интегрируемости функции f (x, y) в области D следует ее интегрируемость в D', D'' и наоборот. При этом

    ∫∫ D f (x, y)ds = ∫∫ D' f (x, y)ds + ∫∫ D'' f (x, y)ds.

    Данное свойство называется свойством аддитивности двойного интеграла и позволяет интегрирование по области со сложной конфигурацией приводить к областям с более простой.

  3. Если умножить интегрируемую в D функцию f (x, y) на некоторое число α, то полученная функция также будет интегрируемой, причем

    ∫∫ D αf (x, y)ds =α ∫∫ D f (x, y)ds.

    Таким образом, постоянную можно выносить из-под знака двойного интеграла.

  4. Если функции f (x, y), g (x, y) интегрируемы в области D, то функция
    f (x, y) ± g (x, y) также интегрируема, причем

    ∫∫ D (f (x, y) ± g (x, y))ds = ∫∫ D f (x, y)ds ± ∫∫ D g (x, y)ds.

    То есть интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности их интегралов.

          Замечание. Свойства 3), 4) отражают линейные свойства двойного интеграла.

  5. Если для интегрируемых функций f (x, y), g (x, y) в области D выполняется неравенство

    f (x, y) ≤ g (x, y),

    то

    ∫∫ D f (x, y)ds ≤ ∫∫ D g (x, y)ds.

  6. Если функция f (x, y) интегрируема, то интегрируема функция |f (x, y)|, причем

    | ∫∫ D f (x, y)ds | ≤ ∫∫ D | f (x, y) |ds.

  7. Если интегрируемая в D функция f (x, y) удовлетворяет неравенству

    m ≤ f (x, y) ≤ M,

    то

    mS ≤ ∫∫ D f (x, y)ds ≤ MS,

    где S - площадь области D.

          Отсюда вытекает следующее соотношение, называемое теоремой о среднем.

          Разделим все части последнего выражения на S и обозначим

    μ = ∫∫ D f (x, y)ds / S.

    Тогда ∫∫ D (x, y)ds = μS, где μ - называется средним значением функции f (x, y) в области D.

          Если функция f(x, y) является непрерывной в замкнутой области D, то она достигает своего наименьшего и наибольшего значений, которые и можно взять в качестве m и M соответственно. Так как m≤μ≤M, то в силу теоремы Больцано-Коши найдется хотя бы одна точка:

    (x*,y*) D : f (x*, y*) = μ.

    Тогда теорема о среднем принимает вид

    ∫∫ D f (x, y)ds = f (x*, y*)S.

     2.4 Геометрическая интерпретация двойного интеграла. Пусть функция z = f (x, y) неотрицательна в области D. Рассмотрим тело Q, ограниченное плоскостью z = 0, поверхностью z = f (x, y) и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей, совпадающей с границей области D(рис. 2.2). Обозначим его объем через V.

Рис. 2.2

      Пользуясь произволом при выборе точек в интегральной сумме σ, в качестве точек Mi выбираем точки, в которых достигаются наименьшие значения функции на участках Δsi. Тогда интегральная сумма σ численно равна объему фигуры, состоящей из конечного числа "призм" с основаниями Δsi и высотами f (Mi) и целиком расположенной внутри тела Q. При дальнейшем дроблении частей Δsi соответствующая ступенчатая фигура все полнее поглощает тело V и в пределе с ним совпадает. Поэтому двойной интеграл равен объему тела Q, то есть

∫∫ D f (M)ds = lim σ = V.

Замечание. Если f (M)= 1, то

∫∫ Dds = S,

то есть площади области D.