8 Варианты индивидуальных заданий
Вариант 1
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки , если поверхностная плотность
в каждой ее точке.
9) Вычислить момент инерции круга радиусом R относительно касательной.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 2
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2) Изменить порядок интегрирования
3) Вычислить:
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8)Найти массу кругового кольца , если в каждой его точке поверхностная плотность
обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра кольца.
9) Вычислить момент инерции эллипса относительно оси OY.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 3
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2) Изменить порядок интегрирования
3) Вычислить:
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:
7)Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки, ограниченной линией , если поверхностная плотность в каждой ее точке
равна расстоянию от точки до начала координат.
9) Найти момент инерции однородного треугольника относительно оси OX.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 4
расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами, если поверхностная плотность в каждой ее точке
равна расстоянию от катета
9) Вычислить момент инерции треугольника относительно оси OX.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 5
1) В двойном интеграле
расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
ОА
: парабола2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле
по области D: x
2+y2=8x, x2+y2=4x, y=x, x=0.7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу фигуры, ограниченной линией
r=а(1+cos j), если ее поверхностная плотность в каждой точке g(х,у)=const.9) Вычислить момент инерции фигуры D: y
2=4x+4, y2=-2x+4 относительно оси Ох.10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 6
1) В двойном интеграле
расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
ОА
: парабола2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле
по области D: x
2+y2=4y, x2+y2=8y, y=x, y=-x.7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки D: y
2=2x, y=x, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(x,y)=2x.9) Найти момент инерции фигуры относительно оси Оy.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 7
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
ОА
: парабола2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки D: 4y=x
2, y+x=8, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(x,y)=3.9) Найти момент инерции фигуры D: относительно оси Оy.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 8
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
ОВ
: парабола2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле
по области D: x
2+y2Ј4, x+y=2 (меньший из сегментов)7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки D:
r=a sin 2j, первая четверть, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(x,y)=const.9) Найти момент инерции равнобедренного треугольника относительно его высоты. Основание треугольника а см, высота
h см.10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 9
1) В двойном интеграле
расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
АВС
: эллипс2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить:
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле
по области D: x
2+y2Ј6x, y=-x, y=x (меньший из сегментов)7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки D:
r=R sin j, r=R cos j, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(r,j)=r.9)Найти момент инерции фигуры
r=6 sin j относительно полярной оси.10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 10
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5)
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями6)
Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8)
Найти пластинки9)
Найти момент инерции равнобедренной трапеции относительно прямой, соединяющей середины оснований. Размеры: большее основание a см, меньшее b см, высота h см.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 11
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2)
Изменить порядок интегрирования:3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5)
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями6)
Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8)
Найти пластинки9)
Найти момент инерции эллиптического кольца, образованного двумя эллипсами с общим центром и совпадающими осями (концентрические эллипсы). Оси внешнего эллипса a см и b см, а внутреннего a1 см и b1 см.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 12
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5)
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями6)
Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8)
Найти пластинки9)
Найти момент инерции фигуры
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 13
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5)
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями6)
Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8)
Найти пластинки9)Найти момент инерции однородного сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси относительно оси Ox.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 14
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
D:
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры D: x
2/9 + y2/25 <= 1, y >= 0 относительно оси Ох.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 15
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
D:
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры D: xy
= a2, yx = 2a, x=2y, 2x = y (x>0, y>0) относительно оси Ох.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 16
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
D:
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры D: x
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 17
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
D:
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
а)
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры D: y = x
2, y=2x относительно оси Оy.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 18
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной параболами(двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
а) б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки если ее поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры
относительно оси Ox.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 19
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу пластинки если ее поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры
относительно оси Ox.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 20
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Найти массу квадратной пластинки со стороной а, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и
в центре квадрата
9) Вычислить момент инерции фигуры
относительно оси Ox.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 21
1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)
2) Изменить порядок интегрирования:
3) Вычислить
а)
б)
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
а)
б)
5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
а)
б)
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7) Вычислить, перейдя к полярным координатам
8) Вычислить массу пластинки :
если ее поверхностная плотность
9) Найти момент инерции фигуры
относительно оси Ox.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 22
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).D:
2. Изменить порядок интегрирования:
3. Вычислить:
4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле
по области D:
7. Вычислить, перейдя к полярным координатам
8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность
9.
Найти момент инерции фигуры
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Вариант 23
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).D:
2. Изменить порядок интегрирования:
3. Вычислить:
4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
а)
б)
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
.
7. Вычислить, перейдя к полярным координатам
8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность
9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Рекомендация: Прибегнуть к подстановке
Вариант 24
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
D:
2. Изменить порядок интегрирования:
3. Вычислить:
4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7. Вычислить, перейдя к полярным координатам
8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность
9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Рекомендация: Прибегнуть к подстановке
Вариант 25
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
D:
2. Изменить порядок интегрирования:
3. Вычислить:
4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
7. Вычислить, перейдя к полярным координатам
8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность
9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.
10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:
неограниченная область:
разрывная функция:
Рекомендация: Прибегнуть к подстановке