2 Определение и свойства двойных интегралов
2.1 Определение. Понятие двойного интеграла базируется на понятии площади. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Квадрируемыми, в частности, являются замкнутые ограниченные области с границей в виде кривой площадью 0. Примером такой кривой является гладкая или кусочно-гладкая кривая. Такие области и кривые, если не оговорено иное, рассматриваются ниже.
Рассмотрим некоторую область D, расположенную в плоскости xoy, и предположим, что в ней задана функция z = f (x, y). Разобьем область D сетью кривых на некоторое количество частей. Обозначим площадь i-ой части через Δsi, а ее диаметр через di. Число d = max idi называется диаметром разбиения области. В каждой из полученных частей произвольным образом выберем точку Mi(xi, yi) (рис. 2.1)
Рис. 2.1
и составим выражение
σ = Σ i f (xi, yi)Δsi.
Это выражение называется интегральной суммой функции z = f (x, y) по области D.
Определение. Конечный предел интегральной суммы (2.1) при условии, что диаметр разбиения области d стремится к 0, называется двойным интегралом функции z = f (x, y) по области D и обозначается
∫∫ D f (x, y)ds или ∫∫ D f (M)ds.
Таким образом, по определению,
∫∫ D f (x, y)ds = lim d→0 Σ i f (xi, yi) Δsi.
Функция f (x, y), имеющая интеграл, называется интегрируемой.
Замечание. Обратим внимание, что в определении интеграла отсутствуют какие-либо предположения о поведении функции, ограничения на характер разбиения и выбор точек Mi .
2.2 Классы интегрируемых функций. Устанавливаются следующими теоремами.
Теорема 2.1 Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D, интегрируема в ней.
Теорема 2.2 Если функция ограничена в области D и разрывна вдоль конечного числа линий общей площадью 0, то она интегрируема в ней.
Замечание. Функция, неограниченная, по крайней мере, в одной точке области, интегрируемой, вообще говоря, не является. Действительно, при любом разбиении области данная особая точка обязательно попадет в одну из его частей. Тогда в силу неограниченности функции в окрестности этой точки путем выбора точки Mi из этой части интегральная сумма может быть сделана сколь угодно большой. Следовательно, и конечный предел интегральной суммы, в результате этого, отсутствует.
2.3 Свойства двойных интегралов. К числу основных относятся следующие свойства.
Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией на конечном числе кривых общей площадью 0.
∫∫ D f (x, y)ds = ∫∫ D' f (x, y)ds + ∫∫ D'' f (x, y)ds.
Данное свойство называется свойством аддитивности двойного интеграла и позволяет интегрирование по области со сложной конфигурацией приводить к областям с более простой.
∫∫ D αf (x, y)ds =α ∫∫ D f (x, y)ds.
Таким образом, постоянную можно выносить из-под знака двойного интеграла.
∫∫ D (f (x, y) ± g (x, y))ds = ∫∫ D f (x, y)ds ± ∫∫ D g (x, y)ds.
То есть интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности их интегралов.
Замечание. Свойства 3), 4) отражают линейные свойства двойного интеграла.
f (x, y) ≤ g (x, y),
то
∫∫ D f (x, y)ds ≤ ∫∫ D g (x, y)ds.
| ∫∫ D f (x, y)ds | ≤ ∫∫ D | f (x, y) |ds.
m ≤ f (x, y) ≤ M,
то
mS ≤ ∫∫ D f (x, y)ds ≤ MS,
где S - площадь области D.
Отсюда вытекает следующее соотношение, называемое теоремой о среднем.
Разделим все части последнего выражения на S и обозначим
μ = ∫∫ D f (x, y)ds / S.
Тогда ∫∫ D (x, y)ds = μS, где μ - называется средним значением функции f (x, y) в области D.
Если функция f(x, y) является непрерывной в замкнутой области D, то она достигает своего наименьшего и
наибольшего значений, которые и можно взять в качестве m и M соответственно. Так как m≤μ≤M,
то в силу теоремы Больцано-Коши найдется хотя бы одна точка:
(x*,y*)
D : f (x*, y*) = μ.
∫∫ D f (x, y)ds = f (x*, y*)S.
2.4 Геометрическая интерпретация двойного интеграла. Пусть функция z = f (x, y) неотрицательна в области D. Рассмотрим тело Q, ограниченное плоскостью z = 0, поверхностью z = f (x, y) и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей, совпадающей с границей области D(рис. 2.2). Обозначим его объем через V.
Рис. 2.2
Пользуясь произволом при выборе точек в интегральной сумме σ, в качестве точек Mi выбираем точки, в которых достигаются наименьшие значения функции на участках Δsi. Тогда интегральная сумма σ численно равна объему фигуры, состоящей из конечного числа "призм" с основаниями Δsi и высотами f (Mi) и целиком расположенной внутри тела Q. При дальнейшем дроблении частей Δsi соответствующая ступенчатая фигура все полнее поглощает тело V и в пределе с ним совпадает. Поэтому двойной интеграл равен объему тела Q, то есть
∫∫ D f (M)ds = lim σ = V.
Замечание. Если f (M)= 1, то
∫∫ Dds = S,
то есть площади области D.