3. Вычисление двойного интеграла

      Вычисление двойного интеграла обычно осуществляется с помощью специальной процедуры, называемой сведением двойного интеграла к повторному. Ее обоснование средствами анализа производится в два этапа. На первом из них рассматривается прямоугольная область, на втором, - произвольная, которая путем определенных построений приводится к прямоугольной.

3.1 Случай прямоугольной области. Таким образом, пусть имеется область . Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть

  1. Функция f(x,y) интегрируема в прямоугольнике D;
  2. Для существует обычный интеграл

  3. Тогда существует повторный интеграл

    (3.1)

    и он равен двойному Т.е.

      Вычисление повторного интеграла производится справа налево. Т.е. вначале производится вычисление внутреннего интеграла

при предположении, что x – const. Полученное выражение подставляется во внешний интеграл и производится его последующее вычисление. Интеграл (3.1) иногда записывается в виде

или, опустив скобки, - в виде

Замечание: При доказательстве теоремы 3.1 прямоугольник D разбивается на части прямыми, параллельными осям координат. В результате этого в интегральной сумме . Чтобы отразить данный факт в изображении двойного интеграла для него используют обозначение

в этом случае утверждение теоремы 3.1 можно записать и так

Если в формулировке теоремы 3.1 переменные х и у поменять местами, то процедуру сведения к повторному можно описать и так

(3.2)

3.2 Случай криволинейной области. Пусть область D ограничена прямыми х=a, х=b и кривыми y1=y1(x), y2=y2(x) (y1<=y2)

Рис. 3.1

Тогда справедлива теорема

Теорема 3.2. Пусть

  1. Функция f(x,y) интегрируема в D;
  2. Для существует простой интеграл

    .

Тогда существует повторный интеграл

и он равен двойному

(3.3)

Доказательство.

Обозначим Рассмотрим прямоугольник
D*=[a,b;c,d] и функцию f(x,y) доопределим на прямоугольник D* положив f(x,y)=0 вне области D. Тогда в прямоугольнике D* функция f(x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1 , следовательно она интегрируема в D*.

Т.о.

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если в теореме 3.2 поменять ролями переменные х и у, то получим формулу сведения двойного интеграла к повторному

(3.4)

справедливую для области изображенной на рис.3.2:

Рис. 3.2

Замечание 2. Если прямые параллельные оси оу пересекают границы области D не более чем в двух точках, то целесообразно пользоваться формулой (3.3). Если же прямые параллельные оси ох пересекают границы области не более чем в двух точках, то целесообразно пользоваться (3.4).

Если же как те, так и другие прямые пересекают границу области не более двух раз, то порядок интегрирования может выбираться исходя из сложности вычисления внутреннего и внешнего интегралов.

Замечание 3. При более сложной конфигурации области прямыми параллельными оси ох и оу необходимо производить ее разбиение на части, удовлетворяющие одному из условий, указанных в замечании 2. (Рис.3.3)

Рис. 3.3

3.3 Примеры.

1.Вычислить

Решение:

1) Область является прямоугольной. Воспользуемся формулой (3.1).

2) Вычисляем внутренний интеграл, считая х постоянной .

3) Подставим полученные выражения во внешний интеграл

Ответ: J=ln(25/24).

2.Вычислить:

где область D ограничена кривыми у=х2 , х=у2 .

Решение.

1) С целью установления порядка интегрирования построим схематичное изображение области (рис.3.4)

Рис. 3.4

2) Прямые, параллельные осям координат пересекают область D не более, чем в двух точках. Поэтому можно воспользоваться как формулой
(3.1) , так и (3.2) .

3) Пусть внешней переменной будет у. Установим пределы ее изменения, определив координаты т.А.

Таким образом уÎ [0,1].

4) Опишем границы области. Из рис.3.4 следует

.

5) Таким образом

.

6) Вычислим внутренний интеграл

7) Подставим полученное выражение во внешний интеграл

.

Ответ: k=33/140.

Замечание. Такой же результат должен получится и при ином порядке интегрирования (проверить!).

3.Вычислить

Решение:

1) Изобразим область D (рис 3.5)

Рис. 3.5

2) Установим порядок интегрирования. Если в качестве внешней переменной выбрать х, то вычисление сводится к одному повторному интегралу. Если же в качестве внешней взять у, то одним повторным интегралом не обойтись, т.к. левая часть границы описывается двумя различными функциями, т.е.

Исходя из этих соображений в качестве внешней переменной естественно взять х. Тогда

3) Выполняем вычисления в указанном выше порядке получаем

А=9/4

Ответ: А=9/4.

Замечание: в рассмотренных примерах порядок интегрирования был определен исходя из конфигурации области. Однако в других случаях он может устанавливаться исходя из трудоемкости вычисления повторных интегралов.