4.Замена переменных в двойном интеграле

      4.1 Правило замены переменных. Изложим геометрически наглядное объяснение этого правила, принадлежащее М. Остроградскому

      Рассмотрим функцию интегрируемую в области D и предположим, что переменные связаны определёнными зависимостями

                                 (4.1)

которые будем считать однозначными, непрерывно дифференцируемыми и с отличным от нуля якобианом

     В этом случае соотношения (4.1) разрешимы относительно переменных u, v и устанавливают взаимнооднозначное соответствие между областями D={(x,y)}и D'={(u,v)} в системах xOy и uO'v соответственно.

     Рассечём область D' координатными линиями . При отображении (4.1) эти линии перейдут, вообще говоря, в некоторые кривые, которые разобьют область D на какое-то количество частей. Предположим, что фигура области D' с вершинами , , , , где приращения и .>0,переходит в фигуру области D с вершинами , , , соответственно.

     Разложим функции x, y по формуле Тейлора, ограничившись учётом малых первого порядка относительно и . В результате этого имеем:

, ,

, ,

, .

      Рассмотрим точки:

, , .

При малых значениях и точки Q,R,T близки к точкам соответственно, т.е. Q~ , R~ , T~ , различия представляют собой малые величины порядка . По этим причинам площадь фигуры также мало отличается от площади фигуры , а именно,

пл. =пл. +O( ),

но это различие несущественно при предельных переходах в интегральных суммах.

     Далее, фигура является параллелограммом, т.к.

=(,)=,      =()=.

Учитывая, что

пл.=| x |,

имеем

пл. = | J |   (Рис. 4.1)                            (4.2)

     Рассмотрим теперь интегральную сумму функций f(x,y) по области D и предположим выполненными оценки (4.2) для каждого из участков разбиения области D. Тогда

               (4.3)

где - стороны прямоугольника области D', который переходит в фигуру области D при преобразовании (4.1).

Рис. 4.1

Если диаметр d' разбиения области D' стремится к нулю, то также и диаметр d разбиения области D стремится к нулю и наоборот. Выполняя в равенстве (4.3) предельный переход при d(d')-->0, получаем

                        (4.4)

Соотношение (4.4) и представляет собой правило замены переменных в двойном интеграле.

     Замечание 1. Множитель |J(u,v)| в (4.4) имеет определённый геометрический смысл. А именно, как следует из (4.2), он представляет собой коэффициент преобразования площадей при преобразовании координат.

     Замечание 2. Приведём довольно часто встречающийся в приложениях случай перехода в двойном интеграле к полярным координатам. Т.к.

, ,

то

и

 

     4.2 Примеры. 1)Вычислить площадь фигуры (Рис. 4.2), ограниченной лемнискатой

.

Рис. 4.2

Решение. 1) Переменные x,y входят в уравнение в чётной степени => кривая и ограничиваемая ей область симметрична относительно начала и осей координат.

          2) Наличие выражения наталкивает на мысль перейти к полярным координатам , . Тогда уравнение кривой принимает вид

Якобиан .

     3) В силу симметричности фигуры её площадь (см. Рис 4.2)

Ответ: .

     Замечание. Если область интегрирования представляет собой криволинейный четырёхугольник, противоположные стороны которого являются линиями однопараметрического семейства кривых, то в ряде случаев эти параметры можно принимать в качестве криволинейных координат.

     2. Перейти к криволинейным координатам в , где D ограничена кривыми

           (Рис. 4.3)

Рис. 4.3

 

     Решение. 1) В соответствии с Замечанием введём параметры u и v

    .

     2) Разрешим соотношения относительно x и y.

      3) Определим якобиан преобразования

      4) Выполним переход к криволинейным координатам

Ответ: Переход к криволинейным координатам выполнен.

        3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (Рис. 4.4)

Рис. 4.4

      Решение. 1) Представим уравнение кривой в параметрической форме

      2) Рассмотрим семейство кривых

      3) Параметры r,t примем в качестве криволинейных координат. Тогда

     4) Тогда площадь фигуры

Ответ:   .