8 Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

а)

б)

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)

б)

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

а)

б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки , если поверхностная плотность в каждой ее точке.

9) Вычислить момент инерции круга радиусом R относительно касательной.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 2

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

2) Изменить порядок интегрирования

3) Вычислить:

а)

б)

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)

б)

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

а)

б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8)Найти массу кругового кольца , если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра кольца.

9) Вычислить момент инерции эллипса относительно оси OY.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

 

Вариант 3

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

 

2) Изменить порядок интегрирования

3) Вычислить:

а)

б)

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

а)

б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:

7)Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки, ограниченной линией , если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию от точки до начала координат.

9) Найти момент инерции однородного треугольника относительно оси OX.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

 

Вариант 4

    1. В двойном интеграле

расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

а)

б)

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)

б)

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

а)

б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию от катета.

9) Вычислить момент инерции треугольника относительно оси OX.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

 

Вариант 5

1) В двойном интеграле

  расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ОА: парабола

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле

по области D: x2+y2=8x, x2+y2=4x, y=x, x=0.

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу фигуры, ограниченной линией r=а(1+cos j), если ее поверхностная плотность в каждой точке g(х,у)=const.

9) Вычислить момент инерции фигуры D: y2=4x+4, y2=-2x+4 относительно оси Ох.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 6

1) В двойном интеграле

  расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ОА: парабола

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле

по области D: x2+y2=4y, x2+y2=8y, y=x, y=-x.

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки D: y2=2x, y=x, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(x,y)=2x.

9) Найти момент инерции фигуры относительно оси Оy.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 7

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ОА: парабола

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D: , y=x, y=-x.

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки D: 4y=x2, y+x=8, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(x,y)=3.

9) Найти момент инерции фигуры D: относительно оси Оy.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 8

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ОВ: парабола

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле

по области D: x2+y2Ј4, x+y=2 (меньший из сегментов)

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки D: r=a sin 2j, первая четверть, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(x,y)=const.

9) Найти момент инерции равнобедренного треугольника относительно его высоты. Основание треугольника а см, высота h см.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 9

1) В двойном интеграле

  расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

АВС: эллипс

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить:

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле

по области D: x2+y2Ј6x, y=-x, y=x (меньший из сегментов)

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки D: r=R sin j, r=R cos j, если ее поверхностная плотность в каждой точке g(r,j)=r.

9)Найти момент инерции фигуры r=6 sin j относительно полярной оси.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 10

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам .

8) Найти пластинки , если поверхностная плотность в каждой её точке .

9) Найти момент инерции равнобедренной трапеции относительно прямой, соединяющей середины оснований. Размеры: большее основание a см, меньшее b см, высота h см.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 11

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам .

8) Найти пластинки , если поверхностная плотность в каждой её точке .

9) Найти момент инерции эллиптического кольца, образованного двумя эллипсами с общим центром и совпадающими осями (концентрические эллипсы). Оси внешнего эллипса a см и b см, а внутреннего a1 см и b1 см.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 12

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти пластинки , если поверхностная плотность в каждой её точке .

9) Найти момент инерции фигуры относительно оси Oy.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 13

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти пластинки , если поверхностная плотность в каждой её точке .

9)Найти момент инерции однородного сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси относительно оси Ox.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 14

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

D:

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам    

8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность .

9) Найти момент инерции фигуры D: x2/9 + y2/25 <= 1, y >= 0 относительно оси Ох.

 

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 15

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

D:

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам    

8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность .

9) Найти момент инерции фигуры D: xy = a2, yx = 2a, x=2y, 2x = y (x>0, y>0) относительно оси Ох.

 

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 16

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

D:

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить
           
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
           
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

           
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:


7) Вычислить, перейдя к полярным координатам     


8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность
.


9) Найти момент инерции фигуры D: x
2 - 2x + y2 = 0, x2 - 6x + y2 = 0, y=0, относительно оси Ох.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 17

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

D:

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить
            а)
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
           
5) Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

           
6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам    

8) Найти массу пластинки , если её поверхностная плотность .

9) Найти момент инерции фигуры D: y = x2, y=2x относительно оси Оy.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 18

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной параболами(двумя способами)

ris1.bmp (103734 bytes)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

а)     б)   
4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)          

б)           

 5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

а)                           

б)       

 6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки если ее поверхностная плотность

9) Найти момент инерции фигуры

относительно оси Ox.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 19

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ris2.bmp (109094 bytes)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

а)             

б)                       

 4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)     

б)              

 5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

а)  

б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу пластинки если ее поверхностная плотность

9) Найти момент инерции фигуры

относительно оси Ox.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 20

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ris3.bmp (94302 bytes)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

а)         

б)        

 

4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)  

б)             

      

5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

а)  

б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Найти массу квадратной пластинки со стороной а, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и в центре квадрата

9) Вычислить момент инерции фигуры

относительно оси Ox.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 21

1) В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами)

ris4.bmp (139246 bytes)

2) Изменить порядок интегрирования:

3) Вычислить

а)  

б)            

 4) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

а)                

  б)          

 5) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

а)

  б)

6) Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7) Вычислить, перейдя к полярным координатам

8) Вычислить массу пластинки :

если ее поверхностная плотность

9) Найти момент инерции фигуры

относительно оси Ox.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 22

1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).D:

2. Изменить порядок интегрирования:

3. Вычислить:

4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле

по области D:

7. Вычислить, перейдя к полярным координатам

8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность

9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Вариант 23

1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).D:

2. Изменить порядок интегрирования:


3. Вычислить:


4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями


5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

а)

б)


6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:
.

7. Вычислить, перейдя к полярным координатам

8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность .

9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Рекомендация: Прибегнуть к подстановке

Вариант 24

1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

D:

2. Изменить порядок интегрирования:

3. Вычислить:

4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7. Вычислить, перейдя к полярным координатам

8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность

9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.

 

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Рекомендация: Прибегнуть к подстановке

Вариант 25

1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

D:

2. Изменить порядок интегрирования:

3. Вычислить:

4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

5.Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в интеграле по области D:

7. Вычислить, перейдя к полярным координатам

8. Найти массу пластинки если поверхностная плотность

9. Найти момент инерции фигуры относительно оси Оу.

10) Исследовать и в случае сходимости вычислить несобственный интеграл:

неограниченная область:

разрывная функция:

Рекомендация: Прибегнуть к подстановке