3. Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла обычно осуществляется с помощью специальной процедуры, называемой сведением двойного интеграла к повторному. Ее обоснование средствами анализа производится в два этапа. На первом из них рассматривается прямоугольная область, на втором, - произвольная, которая путем определенных построений приводится к прямоугольной.
3.1 Случай прямоугольной области.
Таким образом, пусть имеется область . Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть
Тогда существует повторный интеграл
и он равен двойному Т.е.
Вычисление повторного интеграла производится справа налево. Т.е. вначале производится вычисление внутреннего интеграла
или, опустив скобки, - в виде
Замечание: При доказательстве
теоремы 3.1
прямоугольник D разбивается на части прямыми, параллельными осям координат. В результате этого в интегральной сумме
. Чтобы отразить данный факт в изображении двойного интеграла для него используют
обозначение
Если в формулировке теоремы 3.1 переменные х и у поменять местами, то процедуру сведения к повторному можно описать и так
3.2 Случай криволинейной области. Пусть область D ограничена прямыми х=a, х=b и кривыми y1=y1(x), y2=y2(x) (y1<=y2)
Рис. 3.1
Тогда справедлива теорема
Теорема 3.2. Пусть
.
Тогда существует повторный интеграл
и он равен двойному
Доказательство.
ОбозначимТ.о.
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если в теореме 3.2 поменять ролями переменные х и у, то получим формулу сведения двойного интеграла к повторному
справедливую для области изображенной на рис.3.2:
Рис. 3.2
Замечание 2. Если прямые параллельные оси оу пересекают границы области D не более чем в двух точках, то целесообразно пользоваться формулой (3.3). Если же прямые параллельные оси ох пересекают границы области не более чем в двух точках, то целесообразно пользоваться (3.4).
Если же как те, так и другие прямые пересекают границу области не более двух раз, то порядок интегрирования может выбираться исходя из сложности вычисления внутреннего и внешнего интегралов.
Замечание 3. При более сложной конфигурации области прямыми параллельными оси ох и оу необходимо производить ее разбиение на части, удовлетворяющие одному из условий, указанных в замечании 2. (Рис.3.3)
Рис. 3.3
Решение:
1) Область является прямоугольной. Воспользуемся формулой (3.1).Ответ: J=ln(25/24).
2.Вычислить:где область D ограничена кривыми у=х2 , х=у2 .
Решение.
1) С целью установления порядка интегрирования построим схематичное изображение области (рис.3.4)Рис. 3.4
3) Пусть внешней переменной будет у. Установим пределы ее изменения, определив координаты т.А.
Таким образом уÎ [0,1].
4) Опишем границы области. Из рис.3.4 следует .
5) Таким образом
.
.
Ответ: k=33/140.
Замечание. Такой же результат должен получится и при ином порядке интегрирования (проверить!).
3.Вычислить
Решение:
1) Изобразим область D (рис 3.5)Рис. 3.5
Исходя из этих соображений в качестве внешней переменной естественно взять х. Тогда
А=9/4
Ответ: А=9/4.
Замечание: в рассмотренных примерах порядок интегрирования был определен исходя из конфигурации области. Однако в других случаях он может устанавливаться исходя из трудоемкости вычисления повторных интегралов.