5. Приложения двойного интеграла

5.1 Геометрические приложения.Основаны на геометрическом смысле двойного интеграла (п.2)
К числу основных геометрических приложений относятся вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Использование двойных интегралов для вычисления площадей рассмотрены в п.4.2 поэтому ниже ограничимся демонстрацией для вычисления объемов.
Пример. Найти объем тела ограниченного поверхностями


,(a,b,c<0)

Решение. 1). Для установления порядка интегрирования выполним чертеж (см. 5.1). Данное тело ограничено двуполостным параболоидом и эллиптическим цилиндром.


Рис.5.1
2). Тело V симметрично относительно плоскости XOY, т.к. переменная Z в уравнении поверхностей входит в четной степени. Поэтому

3). Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам

отсюда получаем, что якобиан преобразования
Тогда

4). Переходим к повторному интегралу


5). Переменные r и не связаны, поэтому вычисление повторного интеграла сводится к раздельному вычислению двух обычных


т.о.

Ответ:.

5.2 Механические приложения. Основаны на предположении о плоском и непрерывном распределении масс. Обычным является следующий прием.
1) Предполагается заданной некоторая функция
, представляющая собой плотность распределения масс плоской фигуры D.
2) Проводится разбиение этой фигуры на части. В пределах каждой части принимается предположение, что плотность распределения масс является постоянной или что масса части сосредоточена в одной точке.
3) Тогда для массы этой части имеет место формула
Справедливая до до малых порядка

4) складывая приближенные значения для , получаем значение массы m фигуры D в виде интегральной суммы.
5) После предельного перехода - точное значение для m в виде двойного интеграла
Аналогичным образом получаются выражения для статических моментов плоской фигуры
моментов инерции относительно осей кординат
координат центра тяжести
и т.д.