4.1 Правило замены переменных. Изложим геометрически наглядное объяснение этого правила, принадлежащее М. Остроградскому
Рассмотрим функцию
интегрируемую в области D и предположим, что переменные
связаны определёнными зависимостями
которые будем считать однозначными, непрерывно дифференцируемыми и с отличным от нуля якобианом
но это различие несущественно при предельных переходах в интегральных суммах.
Далее,
фигура является параллелограммом,
т.к.
пл.
= | J
|
(Рис. 4.1) (4.2)
Рассмотрим
теперь интегральную сумму функций
f(x,y) по области D и предположим
выполненными оценки (4.2)
для каждого из
участков разбиения
области D. Тогда
где - стороны
прямоугольника области D', который
переходит в фигуру
области D при
преобразовании (4.1).
Рис. 4.1
Если диаметр d' разбиения области D' стремится к нулю, то также и диаметр d разбиения области D стремится к нулю и наоборот. Выполняя в равенстве (4.3) предельный переход при d(d')-->0, получаем
(4.4)
Соотношение (4.4) и представляет собой правило замены переменных в двойном интеграле.
Замечание 1. Множитель |J(u,v)| в (4.4) имеет определённый геометрический смысл. А именно, как следует из (4.2), он представляет собой коэффициент преобразования площадей при преобразовании координат.
Замечание 2. Приведём довольно часто встречающийся в приложениях случай перехода в двойном интеграле к полярным координатам. Т.к.
,
,
то
и
4.2 Примеры. 1)Вычислить площадь фигуры (Рис. 4.2), ограниченной лемнискатой
.
Рис. 4.2
Решение. 1) Переменные x,y входят в уравнение в чётной степени => кривая и ограничиваемая ей область симметрична относительно начала и осей координат.
2)
Наличие выражения наталкивает
на мысль перейти к полярным
координатам
,
. Тогда уравнение
кривой принимает вид
Якобиан
.
3) В силу симметричности фигуры её площадь (см. Рис 4.2)
Ответ: .
Замечание. Если область интегрирования представляет собой криволинейный четырёхугольник, противоположные стороны которого являются линиями однопараметрического семейства кривых, то в ряде случаев эти параметры можно принимать в качестве криволинейных координат.
2. Перейти к
криволинейным координатам в , где D ограничена
кривыми
(Рис. 4.3)
Рис. 4.3
Решение. 1) В соответствии с Замечанием введём параметры u и v
.
2) Разрешим соотношения относительно x и y.
3) Определим якобиан преобразования
4) Выполним переход к криволинейным координатам
Ответ: Переход к криволинейным координатам выполнен.
3. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной
кривыми (Рис.
4.4)
Рис. 4.4
Решение. 1) Представим уравнение кривой в параметрической форме
2) Рассмотрим семейство кривых
3) Параметры r,t примем в качестве криволинейных координат. Тогда
4) Тогда площадь фигуры
Ответ: .