6. Несобственные двойные интегралы 

Описанные выше интегралы (п.п. 2-5) иногда называют собственными, в отличие от несобственных, которые рассматриваются ниже. Различают два принципиально различных случая таких интегралов: интеграл по неограниченной области и интеграл от неограниченных функций. Другие возможные случаи сводятся к комбинированию перечисленных.

6.1. Интегралы по неограниченной области. Примером неограниченных областей являются вся плоскость или часть ее, лежащая вне круга или иной ограниченной фигуры, плоский угол и т.д.(Рис. 6.1)

Рис 6.1

Предполагается, что область в каждой конечной свей части ограничена кривой, имеющей площадь 0 (например, кусочно-гладкой кривой).

Пусть имеется неограниченная область D и функция f(M), заданная в ней. Рассмотрим некоторую кривую L площадью 0 отсекающую от области D некоторую ее конечную часть DL. Предположим, что функция f(M) интегрируема в DL. Обозначим через dL наименьшее расстояние от начала координат точек лежащих на L.

Определение. Несобственным интегралом функции f(M) по неограниченной области D называется предел (конечный или бесконечный) собственного интеграла функции f(M) по области DL при удалении всех точек кривой L в бесконечность (Рис. 6.2). Т.е.

.

Рис 6.2

Если предел конечный, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Также как и в случае собственного интеграла вычисление несобственного может быть сведено к повторному. Это производится следующим образом:

1. Предполагается, что область D заключена в прямоугольную область D'. Это может быть:

а) полубесконечный прямоугольник по одной стороне, например [a,b;c,+∞];

б) полубесконечный прямоугольник по обеим сторонам, например [a,+∞;c,+∞];

в) бесконечный прямоугольник по одной стороне, например [a,b;-∞,+∞];

г) бесконечный прямоугольник по обеим сторонам, например [-∞,+∞;-∞,+∞];

и т.д.

2. Функция f(M) доопределяется на весь прямоугольник D', полагая f(M)=0 для точек M вне области D.

3. Осуществляется сведение функции f(M), определенной в прямоугольнике D', к соответствующему повторному интегралу.

Остановимся более подробно на последнем этапе, рассмотрев, например, случай б), т.е. D'=[a,+∞;c,+∞]. имеет место следующая теорема.

Теорема 6.1. Пусть:

1. функция f(M) интегрируема в любом конечном прямоугольнике [a, b; c, d], где a<b, c<d;

2.

3. повторный интеграл сходится. Тогда сходится и двойной интеграл по неограниченной области и он равен повторному, т.е.

Т.о. из существования повторного интеграла вытекает и существования двойного.

Обратим внимание на модуль функции f(M) в требовании 3 теоремы. Если f(x, y)>=0 в D, то он, очевидно, может быть опущен, если же f(x,y)<0 в D, то его наличие является существенным.

6.2. Интегралы от неограниченных функций. Пусть функция f(M) задана в некоторой ограниченной области D и в окрестности конечного числа точек M1, M2, ... Mn замкнутыми контурами Li, и удали окрестности, ими ограничиваемые из области D. Обозначим полученную область через D'. Предположим, что функция f(M) интегрируема в собственном смысле в области D'. Обозначим через ρi - наибольшее расстояние точек контура Li от точки Mi и положим ρ=maxρi.

Определение. Несобственным интегралом по области D от неограниченной функции f(M) называется конечный или бесконечный предел собственного интеграла функции f(M) по области D' при условии, что каждая из окрестностей стягивается в точку (Рис 6.3). Т.е.

Если существует конечный предел, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

При определенных условиях двойной интеграл также может быть сведен к повторному. Процедура сведения аналогична описанной веше (см. п. 6.2). А именно имеет место следующая теорема.

Теорема 6.2. Пусть область D содержится в конечном прямоугольнике [a, b; c, d] и функция f(M)=0 вне области D. Тогда из существования повторного интеграла следует и существование несобственного, причем .

Отметим, что сказанное выше остается справедливым и в том случае, когда особые точки расположены вдоль конечного числа кривых, имеющих площадь 0.

6.3. Замена переменных в несобственных интегралах. Производится также, как и в случае собственных интегралов. А именно, пусть имеется несобственный интеграл f(x,y)dxdy одного из рассматриваемых выше типов. Пусть функции x=x(u,v), y=y(u,v) описывают взаимо-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области D'={(u,v)}на области D={(u,v)}, причем якобиан преобразования J(u,v)≠0. Тогда равенствоимеет место, если только сходится один из этих интегралов.

Т.о. из существования одного из интегралов следует существование другого. Данное обстоятельство обуславливает ценность замены переменных, как как инструмента исследования сходимости двойных интегралов.

6.4. Примеры. Исследовать сходимость и вычислить следующие интегралы

а) ;

б).

Замечание. Обычно анализ сходимости (и вычисление) несобственных интегралов проводится путем анализа сходимости (вычисления) соответствующих повторных интегралов. Эти интегралы составляются или в исходных координатах, в случае подходящей конфигурации области, или в криволинейных, - после подходящей замены переменных.

Решение а). 1) Область интегрирования приводится на рис. 6.4.

Рис. 6.4

2) Подинтегральная функция >0 в D, поэтому достаточно ограничится анализом одного повторного интеграла

3) Внутренний интеграл т.е. сходится.

4) Внешний интеграл также сходится.

5) Таким образом, исходный интеграл сходится и

Ответ: 1.

Решение б). 1) Данная область (первый квадрант) удобно описывается в полярных координатах (r>=0, 0<=φ<=π/2). Учитывая также, наличие в подинтегральном выражении перейдем к полярным координатам . Имеем

2) Рассмотрим повторный интеграл

Внутренний интеграл сходится.

Внешний интеграл сходится.

3) Т.о., исходный интеграл сходится и

Ответ: π/4.

Замечание. Представим интеграл из Примера б) в виде повторного. Уже зная, что он сходится и его значение равно π/4, получим

Отсюда следует замечательное соотношение , называемое интегралом Пуассона.