Справка 2.3. Кривая
x = φ (t), y =
ψ (t), t [t0 ; T]
называетсягладкой, если
1) φ'(t), ψ'(t)
C[t0 ; T];
2) для
t
[t0 ; T] => φ'2(t) + ψ'2(t)
≠ 0;
3)
точке кривой соответствует единственное
значение t
[t0 ; T], за
исключением, быть может, крайних
значений t.
Если кривая замкнута, то помимо 1) - 3) вводится дополнительное требование
φ'(t0) = φ'(T), ψ'(t0) = ψ'(T).
Перечисленные условия исключают самопересечение и обеспечивают возможность представления уравнения кривой в явном виде, то есть в виде y = y(x) или x = x(y) в окрестности любой ее точки.
Примеры:
A) гладкая кривая
Б) гладкая кривая
В) кусочно-гладкая кривая
Г) L = L1 + L2 - кусочно-гладкая кривая
Д) L = L1 + L2 - состоит из двух кусочно-гладких кривых