1 Введение

 

            С задачами, приводящими к двойным и тройным интегральным суммам, сталкивались ещё основатели интегрального исчисления. Так, в 1697 году о “двойных суммах” упоминает Г. Лейбниц, И. Ньютон в “Математических началах” решает задачу о притяжении точки сферой путём вычисления интегральных сумм, что равносильно вычислению тройных интегралов.

            С 30-х годов XVIII века к идее кратных интегралов приходит Л. Эйлер. Наряду с введением неопределённых интегралов он вводит понятие определённого двойного интеграла, в связи с решением задач о нахождении объёма и площади поверхности тела он решает вопрос о замене переменных, применяет двойные интегралы к решению вариационных задач. В 1769 году на заседании “Петербургской Академии наук” он представляет работу “О двойных интегралах”, в которой излагает начала теории кратных интегралов.

            Вслед за Эйлером кратные интервалы к решению иррациональных задач и задач механики применяет Ж. Лагранж (задача о брахистохроне с подвижной конечной точкой, движение точки под действием сил притяжения к нескольким неподвижным центрам, движение несжимаемой жидкости).

            Интегралы с кратностью больше трёх рассматривает С. Пуассон. Так, в 1819 году решение о колебаниях неограниченной упругой среды он ищет в виде шестикратного интеграла, который позднее приводит к двойным. О. Коши в 1823 году указывает формальную схему решения линейного уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, приводящую к интегралам более высокой кратности.

            Дальнейшее построение теории кратных интегралов обусловлено развитием поверхностных, криволинейных интегралов и их приложений и связано, прежде всего, с именами К. Гаусса, С. Пуассона, М. Остроградского, К. Якоби, Е. Каталана.

            Создание теории множеств в XIX веке приводит к пересмотру направлений исследования кратных интегралов.

            В конце XIX – начале XX вв., благодаря работам К. Жордана, А. Лебега, Г. Юнга происходит обобщение понятия интеграла и распространение интегрального исчисления на точечные множества.